Von Cauchy bis Azumaya oder Die Geheimverabredungen von Analysis und Algebra

Ein metrischer Raum ist vollständig, wenn jede Cauchy-Folge einen Limes besitzt. Diese analytische Eigenschaft ist ein besonderer Fall eines allgemeinen algebraischen Begriffs von Vollständigkeit: die Cauchy-Vollständigkeit einer angereicherten Kategorie.

Der algebraische Begriff der Cauchy-Vollständigkeit wird mit Hilfe von adjungierten Profunktoren definiert.

Die algebraische Vervollständigung eines Rings R besteht aus allen endlich erzeugbaren projektiven Modulen über R. Und eine zentrale R-Algebra A ist eine Azumaya-Algebra genau dann, wenn diese Algebra A zu der Cauchy-Vervollständiung von Aop R A gehört.